一个泡泡，在Science封面破裂！

先知报道

2020-09-14

气泡，无处不在。

气泡的宿命，就是破灭。

当我们看到可乐中的气泡不断往外冒时，当我们陪着小朋友吹着彩虹颜色的气泡水时，我们可能并不知道：气泡在火山爆发、玻璃制造、喷漆、化工设备腐蚀等等工业领域，气泡的破裂是一个有趣而又极难处理的问题。

那么，问题来了：气泡究竟是怎么破裂的呢？

在粘性液体中，气泡会慢慢聚集在液体的表面。当气泡浮出液面后，会形成一个球形帽状的超薄液膜，气体便置于其中。然后，液膜会形成一个越来越大的孔，被困其中的气体得以逸出。没有了气体的支撑，液膜上的受力不平衡，气泡周围出现径向褶皱，最终导致气泡破裂。

先前的研究认为：由于薄膜的重量和开孔施加的几何约束，形成褶皱，最终导致气泡破裂。那么，薄膜上着这些褶皱是如何形成的？这些褶皱为什么会破裂呢？

最新研究表明：褶皱不稳定性既不依赖于重力，也不依赖于孔洞的存在。

薄片的起皱现象，存在于各种尺度范围内，包括中性粒细胞吞噬作用、负责指纹的上皮组织发育和板块构造的俯冲带。一般而言，薄片起皱是因为当它们受到压缩应力时，它们屈曲所需的能量比压缩所需的能量少。

当一个薄的弹性薄板被拉伸、戳或包裹在弯曲的物体时，就会发生弯曲变形，从而形成褶皱。同样，这也适用于粘性液体的弯曲。

在粘度为μ≈10⁶ cP的硅油浴中，半径为R=1 cm的坍塌气泡产生的皱纹如图1B所示。当气泡高度Z达到距熔池表面约Z/R≈0.6时，皱纹出现在靠近气泡边缘的孤立环状区域。在孔形成之前，气泡在气液界面上的平衡形状是由气泡内部的超额压力ΔP与重力和毛细管力的组合之间的平衡建立的。由于本例中的气泡半径远大于毛细管长度(γ/ρg)^1/2≈1 mm，其中γ是表面张力，ρ是液体密度，g是重力引起的加速度，所以气泡基本上延伸到浴缸表面之外并形成半球。重力驱使薄半球状薄膜中的排水，导致气泡壁向底部加厚。在表面张力和孔边的局部曲率的驱动下，刺穿薄膜会产生一个孔，并促使薄膜从破裂点回缩。此外，刺穿薄膜会平衡界面上的压力，导致ΔP→0。因此，孔洞的存在使作用在薄膜上的毛细和重力不平衡，最终导致气泡破裂。考虑球帽上的表面单元dA，作用在膜厚h上的引力为F_g~ρhgdA，而向内拉膜的毛细管力为F_c~(4γ/R)dA(图1A)。对于特征厚度为h≈10 μm的厘米大小的气泡，毛细作用力(F_c)控制引力(F_g)的因子是F_c/F_g~4γ/(ρGRH)≈80。这种标度论证表明，塌陷过程是由表面张力主导的，而不是由重力主导的。

 图1. 粘性气泡膜破裂时的崩塌。

为了验证这一假设，研究人员在将气泡颠倒后进行了一个相同的实验(图1C)。这种方法是可能的，因为液体具有足够的粘性，可以在硅油流出倒置容器之前进行实验。研究人员首先准备气泡正面朝上，然后快速旋转样品，在几秒钟内使气泡破裂。当反转时，气泡膜(厚度h≈2.4 μm)保持其形状，并以~10 nm/s的速度在顶端增厚；因此，在旋转或反转过程中，膜的几何形状都没有明显的变化。如果重力和粘性是主导力量，那么倒置的气泡就会向下伸长，正如之前的模拟所证明的那样。相反，倒置的气泡在重力的作用下向上收缩，在气泡破裂的最后阶段再次形成皱纹(图1C)。运动的方向清楚地表明，重力不是导致坍塌的原因，但也不排除与褶皱有关的可能性。通过重复气泡侧面的实验(图1D)，研究人员发现皱纹仍然出现(图1E)。因此，研究人员得出结论，重力在气泡破裂和褶皱失稳过程中起着微不足道的作用。

为了了解表面张力驱动气泡崩塌的程度，研究人员测量了气泡膜与熔池表面的最大距离Z(t)。从气泡高度随时间的演化，研究人员可以提取一个崩塌速度V=dZ/dt，它将决定崩塌的特征时间尺度。如果表面张力推动了崩塌，那么预计速度将取决于相互竞争的毛细和粘性力。实际上，平衡毛细管力γR和粘性力μh₀V可得到特征速度V~γR/μh₀，其中H₀是顶点处的初始膜厚。因此，研究人员预计气泡高度Z和相关的崩塌速度V的演变取决于薄膜的粘度和厚度。研究人员通过使用粘度为100、800和3000 Pa·s的硅油，并在破裂时改变薄膜厚度的系统实验来验证这一猜想。一旦被刺穿，气泡破裂，当它到达浴缸表面时减速(图2A)。从高速图像中，研究人员通过在0.6<Z/R<1(23)范围内平均下行速度dZ/dt来计算起皱开始时的代表速度V。增加硅油的粘度减缓了崩塌的速度。正如预期的那样，当将归一化高度Z/R与无量纲时间Vt/R作图时，数据崩溃(图2A，插图)。

 图2. 气泡膜厚度和粘度对塌缩动力学的影响。

为了获得更深入的认识，研究人员结合光学技术和DebréGeas等人的引力排水理论，测定了气泡顶端的破裂厚度H₀。(17)。在单色光下，可以看到同心干涉条纹从气泡的顶端发出(图2B，插图)。这些圆圈是轴对称引流的证据，它们出现的速度可以用薄膜干涉法测量，以估计顶端的厚度。更薄的气泡坍塌得更快(图2B)，正如从预测的比例V~γR/μh₀(实线)所预期的那样。研究人员承认实验数据与这个简单的定标有相当大的偏差，特别是对于100 Pa·s的硅油气泡。然而，总体趋势支持气泡崩塌是由表面张力驱动的假设，在这种情况下，特征时间尺度R/V~μh₀/γ变得与气泡半径无关。

Da Silveira等人的模型提出了重力和粘度导致起皱的原因：起皱的数量为n~(ρgR_H³τ_c/μh²)^1/2，其中RH为孔洞半径，τ_c为薄膜崩塌所需的时间。孔的半径在早期迅速增长，但在失稳过程中变慢到足以将其充分建模为常数。因此，这个模型声称褶皱的数量强烈依赖于孔的大小，当R_H=0时没有预测到褶皱。为了研究这个洞在皱纹形成中的作用，研究人员通过在放置硅油的培养皿底部钻一个小口进行了实验。研究人员将一条细管插入开口，注入空气产生气泡，然后用阀门密封开口。一旦气泡到达表面，形成一个半球形的圆顶，研究人员就打开阀门，让气泡内的加压空气逸出。当空气逸出时，ΔP→0，导致来自曲面的毛细管力不平衡，气泡坍塌(图3A)。在崩溃的最后阶段，皱纹再次出现，这表明该孔只有通过消除气泡表面的压差才能起到褶皱的作用(图3B)。因此，研究人员需要重新审视起皱动力学，从而为起皱机制推导出一致的物理图像。

 图3. 气泡崩塌而不破裂的机理。

研究人员提出了一种机制，当球形薄膜的破碎动力学导致环状压缩，克服了表面张力的平滑效应时，就会产生褶皱。在这里，毛细管驱动的坍塌在圆柱参照系中诱导出径向速度，其尺度为V_r~V~γR/μh₀(图3A)。对于图3C中定义的r，ε坐标系，径向速度导致径向压缩率ε_rr，方位向压缩率ε_θθ。对于牛顿流体，这种压缩产生径向应力σ_rr和环向应力σ_θθ，这可以与通过特劳顿模型的径向压缩速率相关，对于厚度为h的薄膜产生σ_rr~σ_θθ~4μhV_r/R。从研究人员对虚拟现实的缩放可以得出，当忽略虚拟现实中的空间变化时，σ_rr~σ_θθ~γh/h₀。因此，研究人员预计粉碎运动学将在外环(图3A，红环)产生比中心更大的压应力，因为局部膜厚更大。不管这些压应力的来源是什么，表面张力都会使液膜产生拉应力，从而使表面积最小化(图3D)。研究人员认为，这些拉应力和压应力的竞争导致了皱纹在距中心一段距离L处的位置(图3B)。因为厚度剖面是未知的，所以不可能对应力场进行定量推导，因为预测皱纹的确切位置是必需的。如果表面张力超过整个薄板的压应力，则薄板应保持光滑。然而，褶皱的存在表明，在离中心足够远的地方，压应力占主导地位，以保持板材的光滑。当压缩速度快于表面张力的平滑效应时，这种行为类似于一维粘性薄板的屈曲。为了避开厚度变化带来的理论挑战，研究人员将褶皱区域近似为一个恒定厚度h的环。

为了对皱纹的发展进行建模，研究人员推导了第一个Föppl-von Kármán方程的动态版本，该方程描述了沿薄板中心线ζ(r，θ，t)的法向力平衡，如下所示(图3D)：

其中∇⁴是双调和算子，∇²是拉普拉斯算子。由于观察到多条径向皱纹，研究人员寻求ζ(r，θ，t)=f(r)exp(ωt+inθ)形式的解。这里，f(r)确定褶皱幅度的径向变化，ω是褶皱生长速率，n是褶皱数量。根据这些参数，公式1变为:

公式2中的三个方括号中的项分别对应于惯性、弯曲和压缩。考虑到薄膜的高粘度，人们可能会忽略惯性效应。然而，皱纹发展的速度ω^-1是~10 ms(图3e)，足够短，惯性项变得不可忽略。事实上，对于一个典型的厚度h≈10 μm，研究人员发现惯性项和径向压缩项的比值为ρhR²ω²/γ~1，证明了在方程1中包含惯性是合理的。

在考虑轴对称薄膜效应时，径向应力σ_rr在褶皱发展过程中由于方位向应力σ_θθ的释放而引起的褶皱有明显的作用。当主导应力由方位向径向变化时，方程2中的主导项对n的依赖关系也会发生变化。生长速率ω和褶皱数量n的比例关系可以从优势平衡中获得。具体地说，惯性项刻度为ρhω²，方位弯曲刻度为ωn⁴μh³/R⁴，径向应力分量刻度为γ/R²。这三个主要项的同时平衡产生增长率ω⁻¹∼和褶皱数量n~(2γR²/ωμh³)^1/4，或者等效：

为了测试Eq. 3中皱纹数量的比例，研究人员进行了系统的实验，研究人员改变了气泡的粘度和方向，同时将气泡的尺寸限制在0.8 < R < 2 cm范围内。研究人员还重复了有关疏散而不是穿透气泡的实验。研究人员利用崩塌时间R/V≡μh/γ来估计起皱膜厚度h，这样得到的结果大约比顶点厚度h₀大一个数量级(图2C)。此外，研究人员还对更厚的结构进行了额外的实验，从熔炉中提取吹出的熔融玻璃，并让捕获的空气通过玻璃吹制管逸出。随着漏气，吹制的玻璃坍塌，呈褶皱状，厚度为h≈200 μm (图4A，插图)。

 图4. 数据和模型预测的比较。

皱纹数量的实验结果如图4A所示。根据初始半径、厚度和粘度的不同，褶皱的数量可能在8到96之间。实验结果(数据点)与研究人员从方程3得到的理论预测(实线)符合得很好。研究人员模型的局限性适用于薄膜最薄的数据。对于这些气泡，坍塌是如此突然，以至于皱纹图案失去了对称性，皱纹横跨整个气泡(图4Bi)。此外，考虑到图2B中明显的差异，在解释100 Pa·s气泡膜的数据时应该谨慎。这种差异可能部分源于厚度剖面的变化，这可能解释了在这种较低粘度下观察到的较大的孔尺寸和皱纹位置L(图4，Bii和Biii)。请注意，研究人员的分析是基于这样的假设，即褶皱位置L与气泡半径成正比，并且没有考虑L与膜厚度或粘度的任何依赖关系。

研究人员的模型假设褶皱在球壳的轴对称部分发展，这对于吹制的玻璃来说可能不太合适。具体地说，由于熔融的玻璃在加工成薄膜的过程中不断旋转，熔融的玻璃气泡(图4A，插图)在崩溃前呈圆柱壳的形式，在崩溃后呈圆柱形，盖子大致为半球形。对于这种情况，在求解公式2时，研究人员考虑了半径为R的环，其中振幅f近似为常数。该方法得到了一维动态屈曲色散关系ρhω²+ωμh³n⁴/3R⁴-σ_θθn²/R²=0。线性稳定性分析表明，最不稳定的皱纹模式与生长速率ω^(1D)~(γ²/ρμh⁴)^1/3和皱纹数目n^(1D)~[(R/h)⁵(ργR/μ²)]^1/6有关，结果与Howell的结果相似。虽然用吹制玻璃进行的实验数量不足以得出明确的结论，但研究人员预计一维缩放(图4A，虚线)更适合于这个近乎圆柱形的几何图形。方程3的二维圆盘标度。对于涉及球帽气泡几何体的所有数据，更具说服力。

研究人员模型的一个预测是，并不是在所有条件下都会出现起皱。在一维和二维尺度中，惯性在决定褶皱数量方面起着关键作用。事实上，在这两种情况下，当n>1时，或等效地h/R<(μ/)^-2/5时，惯性是相关的，这是研究人员所有数据都满足的标准(图4C)。对于一维模型，如果忽略惯性，得到的屈曲轮廓将等同于直梁的欧拉屈曲(23)。惯性似乎也是不稳定增长率ω的主导因素：研究人员没有发现粘度影响增长率时间的证据，这与研究人员的模型是一致的。对于皱纹的发展，它们生长的时间尺度必须小于崩溃的时间尺度μh/γ。因此，研究人员预测当h/R<(μ/)^-2时不会出现褶皱。为了检验这一假设，研究人员破裂了粘度为μ=10 Pa·s的硅油形成的气泡(图4C，白色三角形)，确实发现它们不支持任何褶皱。

研究人员已经证明，表面张力而不是重力驱动粘性表面气泡在破裂后破裂，同样也是降落伞不稳定性的原因。毛细管驱动的坍塌启动了由缩回薄膜的惯性、压缩和粘性弯曲同时相互作用所规定的动态屈曲不稳定性。研究人员的结果表明，类似的褶皱很可能出现在相对较小的弯曲薄膜上，其中重力的影响完全可以忽略不计。控制褶皱数量的方程1是用于研究弹性板壳变形的弹性Föppl-von Kármán方程的粘性对应。因此，研究人员的系统提供了一个例子，即粘性薄片在快速压缩时表现出类似弹性的不稳定性。基于粘性和弹性在这两个系统中所起的相似作用，研究人员可以预见将研究人员的模型扩展到包含粘弹性薄膜的系统，其中粘弹性效应、毛细效应和惯性效应都对动力学有贡献。例如，潜在携带病原体的气溶胶的呼出与呼吸道粘弹性流体衬里中的薄气泡膜的破裂有关。研究人员的推论是，在粘性薄膜破裂和收缩时，仅表面张力就可能引起翘曲，这暗示了这些薄膜折叠和截留空气的可能性，从而丰富了气溶胶化过程。

参考文献

A new wrinkle on liquid sheets: Turning the mechanism of viscous bubble collapse upside down. Science, 2020.

DOI: 10.1126/science.aba0593

https://science.sciencemag.org/content/369/6504/685